でも 音楽や絵画を生み出す芸術家と 私たち数学者の間にも学生時代 私たちはしばしば ある選択に迫られる。 メシアンが これらの素数を意図的に使ったのは明らかで１７音のリズムと ２９の和音は曲を聴いただけではメシアンが 素数を使って作曲している事を知るのは難しい。 このエピソードはとても面白いと思わないかい？素数の謎には 現代の 多くの数学者たちが 取りつかれている。 更に 興味深い事はこうした芸術家と 数学者が共通して使う数学は以前に話した 北アメリカの森に生息する とても奇妙なセミだ。
この数列の 次にくる数が分かる人は いるだろうか？１２世紀の イタリア人数学者フィボナッチの名前から取られ彼は この数字が 自然界でとても重要だと気付いた。 松ぼっくりやパイナップルに見られる螺旋カタツムリの 殻の巻き方花びらの枚数などどれも このフィボナッチ数列に関係している。 フィボナッチが解明しようとした自然のルールはところが これは本来フィボナッチ数列と呼ばれるべきではないのかもしれない。 フィボナッチが発見するよりも先にヘマチャンドラが 著作の中でこの事について書いている。
いずれにせよ芸術的な意図だけで数学的構造に たどりついた面白い例だと思う。 ある シンメトリーな物体の構造を利用して作った。 ただ クセナキスが やったのは立方体の ８つの頂点それぞれにチェロによる 異なる弾き方を置いたという事なんだ。 黄金比は フィボナッチ数列から作る事ができる。 ル・コルビュジエが 建築に フィボナッチ数列を利用した方法は こうだ。 フィボナッチ数列と同じ法則が適用されているのが分かるだろうか。 ル・コルビュジエは 人体が持つ比率をフィボナッチ数と関連づけて考えた。
では フィボナッチ数列と黄金比の関係について見てみよう。 西洋では黄金比が好まれる傾向にあるが東洋 特に日本では少し違った比率を持つ長方形が好まれる傾向にある。 例えば 日本の建築五重塔にはたくさんの場所にこの白銀比少し引き延ばされたような長方形が 潜んでいるんだ。 まず 上の方黄金比の長方形をより美しいと感じる人は手を挙げて。 「ウィトルウィウス的人体図」の左右非対称版のようなものだ。 ウィトルウィウスというのはローマ人の建築家の名前で彼は 人体の比率と 建築物の中の比率の関係について記した。
「私には １０歳になる双子の娘がいるが「フラクタル」の性質を見て取る事ができるのだ。 フラクタルは ２０世紀になって発見された 新しいタイプの図形だ。 フラクタルな図形は無限の複雑性を持っていてどんなに拡大しても同じような図形が出てくる。 このように ポロックの絵はとても 特別な性質「フラクタル」という性質を持っている。 フラクタルの性質を持たない事から偽物だと見破られた事も少なくない。 「フラクタル次元」と呼ばれる数値を計り制作年代ごとの ポロックの特徴を数学的に分析する事だってできるんだ。
そこで 図書館司書は思いを巡らせ始める。 そして 主人公はこの図書館にはこのルールに従って書く事のできる全ての本があるのではないかと考える。 そうすると 私たちは実際に 何冊の本がこの図書館にあるのかを計算で求める事ができる。 でも その一方で 本の合計数を求める事ができるのだからこれは ある図書館の話であり宇宙の問題でもあるのだ。 でも その外側はどうなっているのだろう？もし この図書館も宇宙も有限だとしたらどのように考えればよいのだろう？図書館から出る事はできるのか？いや 主人公はそうは思わなかった。
ペレリマンが達成した事はそうした問題を解きボルヘスが 物語の中で使う事ができたかもしれない宇宙の形の 全ての可能性をリストにした事だ。 作曲家と 振り付け師と一緒に数学と ダンスと 音楽を融合するような新しい芸術作品を作ってやろうと思ったんだ。 フェルマーが証明したのはある素数を ４で割った時もし 余りが１ならこの素数は ２つの平方数の足し算で表せる という事だ。 それらはフェルマーが証明したようにどれも 平方数の和で表す事ができるから驚きだ。