旧ソビエト出身の気鋭の数学者…フレンケル教授が挑んでいるのは図形の形や性質を調べる幾何学。 数学の最先端理論を突き詰めていけばこの宇宙を支配する物理法則が次々と姿を現すのではないかというのです。 フレンケル教授は今回 一般の学生から数学の専門家までを集めた全４回の特別講義を行いました。 ラングランズによる この一連の予想はこの５０年の間にさまざまな形で定式化が進みさまざまな分野へ拡張されてきた。
私が説明しようと思うのは物理学者がどのようにして陽子と中性子の中に更に小さな粒子が存在するというアイデアを思いついたかという事だ。 初め 物理学者たちはとても興奮した。 物理学者は その理論を猛烈に必要とした。 ある物理学者が 「一体 誰がこんなに たくさんの粒子を注文したんだ？」と言ったぐらい困惑したんだ。 そして 対称性によって大量の粒子の起源を説明するその理論の発見に決定的な役割を果たしたのは物理学者のマレー・ゲルマンだ。
我々が生きている３次元空間と複素数という数で表される３次元空間との違いだ。 複素数は 興味深い存在だ。 複素数は 数学者によって作り出されたが実は 数学者でさえも 複素数を理解するのに 何世紀もかかった。 何世代もの数学者による研究と努力でようやくその恐怖は克服され複素数についての理解が進んだんだ。 ゲルマンの研究は ６０年代だがその ２０年から３０年前に数学者たちは 物理学とは全く関係のないところで彼は こう言った。
スーパーストリング理論は数学の抽象世界と物理学の現実世界がまだ せめぎ合っている状態だ。 例えば 電磁気力を説明する理論では「円」で表せる事も学んだ。 ゲージ理論には「双対性」と呼ばれる性質が現れる事がある事が分かっている。 私は 本の中で電磁気力の双対性について私の母国 ロシアのスープボルシチのレシピを使って説明をした。 レシピを理論に例えるなら双対性とは材料の交換を意味しているんだ。 他のゲージ理論にも電磁気力と同じような双対性があるのかどうかが問題だったんだ。
ラングランズ・プログラムと量子物理学の双対性との関係はどんなものなのだろうかと。 そこは アインシュタインが仕事をしていた研究機関でラングランズも教授を務めている場所だ。 私は その会議のオーガナイザーの一人で目的は 数学者と物理学者の双方を集めて自分の分野の研究を話し お互いに何か ひらめくものがないか多くの場合研究テーマへの アプローチ方法は本物の探偵のようなもので証拠を集めて その意味を見つけようとするのだ。
例えば 物理学では素粒子の標準理論にはＳＵでもいいわけで数学的には どの群でも完全に意味を成す。 ２つ目は 数学の理論が物理学における 多くの発見に先立って 作られた事だ。 私は 数学者がどのようにして理論を発見しなぜ 理論を発展させる必要があったのかを説明する事はできる。 我々は 数学を発見したのか？それとも発明したのか？隠された実在としての数学例えば 数々の偉大な数学的発見。